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Programación Lineal con Lingo
En procesos administrativos de producción se tiene el problema general de asignar de la mejor manera posible es decir, de forma óptima recursos limitados a actividades que compiten entre sí por ellos.
Toda vez que se determinan los niveles de actividad, los mismos dictan la cantidad de recursos que consumirá cada una de ellas.
Se tiene la necesidad de asignar recursos a las actividades mediante la elección de los niveles de éstas.
La programación lineal utiliza un modelo matemático para describir el problema.
Ejemplo:
(Obtenido de Frederick S. Hillier (2010))
La WYNDOR GLASS CO. produce artículos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y puertas de vidrio. Tiene tres plantas.
Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta 1, los de madera en la planta 2; la planta 3 produce el vidrio y ensambla los productos.
Debido a una reducción de las ganancias, la alta administración ha decidido reorganizar la línea de producción de la compañía.
Se discontinuarán varios productos no rentables y se dejará libre una parte de la capacidad de producción para emprender la fabricación de dos productos nuevos cuyas ventas potenciales son muy prometedoras:
Producto 1: Una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio.
Producto 2: Una ventana corrediza con marco de madera de 4 por 6 pies.
El producto 1 requiere parte de la capacidad de producción en las plantas 1 y 3 y nada en la planta 2.
El producto 2 sólo necesita trabajo en las plantas 2 y 3.
1.- Definición del problema de programación lineal.
Determinar cuáles tasas de producción deben tener los dos productos con el fin de maximizar las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de producción limitadas disponibles en las tres plantas.
Cada producto se fabricará en lotes de 20 unidades, de manera que la tasa de producción está definida como el número de lotes que se producen a la semana. Se permite cualquier combinación de tasas de producción que satisfaga estas restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del otro.
En las siguientes figuras se ilustran los datos disponibles:
2.- Para formular el modelo matemático de programación lineal de este problema se define:
x1=número de lotes del producto 1 que se fabrican por semana
x2=número de lotes del producto 2 que se fabrican por semana
Z=ganancia semanal total (en miles de dólares) que generan estos dos productos
Por lo tanto, x1 y x2 son las variables de decisión del modelo. Si se usa el último renglón de la tabla, se obtiene:
Z= 3×1+5×2
El objetivo es elegir los valores de x1 y x2 que maximicen Z=3×1+5×2, sujeta a las restricciones impuestas sobre sus valores por las capacidades de producción limitadas de las cuales se disponen en las tres plantas.
3.- Restricciones. En las siguientes figuras se muestran algunas de las restricciones que se tienen para el modelo
En términos matemáticos, esta restricción se expresa mediante la desigualdad x1<=4
Como las tasas de producción no pueden ser negativas, es necesario restringir las variables de decisión a valores no negativos: x1>=0 y x2>=0.
4.- Formulación del modelo matemático de programación lineal
Para resumir, en el lenguaje matemático de programación lineal, el problema consiste en seleccionar valores de x1 y x2 para:
Maximizar Z=3×1+5×2 ,
Sujeta a las restricciones:
x1<=4
2×2<=12
3×1+2×2<=18
y
x1>=0, x2>=0
5.- Resolución del modelo con el software Lingo
5.1.- Se ejecuta el software
5.2.- Se escribe el modelo matemático de programación lieanl con sus restricciones
5.3.- Se accesa al menú Solve>Solve
5.4.- Se tiene la solución al modelo matemático sujeto a las restricciones indicadas
De acuerdo a lo mostrado en la figura, el valor máximo de la función objetivo es de $36,000 dólares produciendo dos unidades del producto 1 (x1) y 6 unidades del producto 2 (x2).
José Manuel Carrillo Hernández
Ingeniero Civil, Maestro en Ciencias en Ingeniería de la Construcción, Doctor en Ingeniería con especialidad en sistemas de planeación y construcción